关于对数变换的一个误解

A Misconception About Log Transform

对数变换（log transform）常被用来消除数据中的偏度（skewness）。然而，它并不总是消除偏度的理想方案。需要特别注意的是，对数变换：

• 并不能消除左偏（left-skewness）。
• 只对右偏（right-skewness）有效，而且仅当数值较小且为正时才起作用。

为了更好地理解，来看下面这个左偏分布（distribution）及其对数变换：

很明显，对数变换并没有消除偏度。不过，现在再来看一个右偏分布：

这一次，它消除了偏度。

这是因为对数函数在数值较小时增长得更快，因此它对较低值的拉伸程度要大于对较高值的拉伸。

更具体地说，在左偏的情况下，尾部在左侧，这部分被拉伸的程度超过了右侧概率质量的主要部分，因此偏度受到的影响不大。

而在右偏的情况下，大部分概率质量都在左侧，这部分被拉伸得更多。

话虽如此，需要注意的是：即使我们面对的是右偏分布，如果数值很大，对数变换也不会有效。

这是因为对数函数的拉伸效应在数值很大时会减弱：

我经常发现 box-cox 变换在消除右偏和左偏方面都相当有效，如下图所示：