对连续概率分布的一种常见误解

A Common Misinterpretation of Continuous Probability Distributions

考虑下面这个连续概率分布的概率密度函数。假设它表示一个人从 A 点到 B 点所需的时间。

• 为简单起见，我们假设在区间 [1,5] 上服从均匀分布。
• 本质上，它表示从 A 到 B 需要 1 到 5 分钟之间的某个时间，不会更多也不会更少。因此，概率密度函数（PDF）可以写成如下形式：

请回答下面这个问题：确切地花 3 分钟到达 B 点的概率是多少？

• 选项之一（约 1/某种值）。
• 另一个选项：当时间为某个值时的概率。
• 又一个选项：当时间为另一个值时的概率。

在继续往下读之前，先选定一个答案。好吧，以上答案都是错的。正确答案是零。我故意只放了错误答案，好让你永远记住关于连续概率分布的一个根本性要点。我们深入看看！连续概率分布的概率密度函数可能长这样：

这个概率密度函数需要满足一些条件：

• 它应在所有实数上都有定义（某些取值处可以为零）。
• 这与离散概率分布不同，后者只对一列取值有定义。
• 其面积应为 1。
• 该函数对所有实数值都应非负。
• 在这里，许多人常误解概率密度函数表示的是取到某个特定值的概率。

例如，看上面这个概率密度函数，许多人错误地得出结论：随机变量 X 取某个值的概率接近某个值。

但与这种常见看法相反，概率密度函数：

• 并不表示某个特定值的概率。
• 也不是用来刻画离散随机变量的。

相反，概率密度函数：

• 刻画的是概率在每个点周围累积的速率。
• 只用于刻画连续随机变量。

现在，连续随机变量可能取的值有无穷多个。

所以取到某个特定值的概率始终为零（或无穷小）。因此，回到我们最初的问题：某人花三分钟到达 B 点的概率是零。那么使用概率密度函数有什么用呢？在统计学中，PDF 用来计算某个取值区间上的概率。

因此，我们可以用它来回答诸如下面的问题……

• 花费时间在以下区间的概率：
  • 3 到 4 分钟之间从 A 到达 B，或者
  • 2 到 4 分钟之间从 A 到达 B，等等……

而我们用积分来做这件事。

更正式地，随机变量在区间 [a, b] 上取值的概率为：

简单来说，就是从 [a, b] 上曲线下方的面积。

由上面在区间上估计概率的做法，我们也可以验证取到某个特定值的概率确实为零。193

令 b=a 代入，我们得到：

总结一下，永远记住在连续概率分布中：

• 概率密度函数并不表示取到某个特定值的精确概率。
• 估计随机变量某个精确值的概率没有意义，因为它无穷小。相反，我们用概率密度函数来计算某个取值区间上的概率。