QQ 图（分位数图）是如何创建的？

How are QQ Plots Created?

QQ 图（分位数图）是直观评估两个分布相似性的一种好方法。

它通过将两个分布的分位数（quantile）相互对照绘制来实现。偏离直线的程度表明两个分布之间的差异。下面的图展示了它是如何创建的：

让我们更详细地讨论一下。假设我们有两个分布 D1 和 D2。步骤 1）在坐标轴上排列点：如下图所示，我们将 D1 的点排列在 y 轴上，D2 的点排列在 x 轴上。

步骤 2）绘制百分位线 接下来，对于两个分布，我们创建一些百分位线。例如，在两个坐标轴上，我们都可以从两个分布中标记出第 10 百分位、第 20 百分位、第 30 百分位等点。如下图所示：

我们为两个分布标记百分位位置，并将对应的线相交。

• D1 的第 10 百分位与 D2 的第 10 百分位相交。
• D1 的第 20 百分位与 D2 的第 20 百分位相交。
• 以此类推。

这些百分位线的交点就是我们在 QQ 图中通常看到的点：

现在，我们可以去掉百分位标记线了。

简而言之，上面的图给出了两个分布对应百分位相匹配的位置。步骤 3）添加参考线 最后，我们必须添加一条参考线来确定两个分布之间的偏差。有很多方法可以做到这一点。

例如：

• 连接两个分布第 25 和第 75 百分位的线可以作为参考线。
• 对上述散点图（scatter plot）进行回归拟合得到的线也可以作为参考线。通常更倾向于使用连接第 25-75 百分位的线，因为回归拟合会受到离群点（outlier）的影响。添加参考线后，我们就得到了 QQ 图：
• 偏离这条参考线表明两个分布互不相同。换言之，偏差意味着对应的百分位没有对齐。
• 这成为分布差异的指示器。

当然，我们绘制的百分位越多，QQ 图就会越好、越准确。QQ 图有很多应用。例如，假设我们有一个观测分布，想确定它是否类似于正态分布（normal distribution）。我们可以为此使用 QQ 图：

• D1：观测分布
• D2：正态分布。

如果百分位点更靠近参考线，这就意味着观测分布更接近正态分布。如下图所示：