泊松回归 vs. 线性回归

Poisson Regression vs. Linear Regression

线性回归有它自己的一套挑战和假设。例如，建模之后，对于某些输入，输出可能是负数。但这有时并不合理——比如预测进球数、接到的电话数等。由此可见，它无法建模计数（或离散）数据。此外，在线性回归中，残差被期望围绕均值呈正态分布。所以均值两侧（μ-x 和 μ+x）的结果是等概率的。

例如：

• 如果接到电话的期望数（均值）是 1……
• ……那么按照线性回归，接到 3 通电话（1+2）和接到 -1 通电话（1-2）一样可能。（这与预测区间的概念有关，我们在前面的章节中讲过。）
• 但在这种情形下，负的预测毫无意义。

因此，如果上述假设不成立，线性回归就派不上用场了。取而代之，在这种特定情形下，你可能需要的是泊松回归。

如果你的响应（或结果）是基于计数的，泊松回归就更合适。它假设响应来自一个泊松分布。

它是一种广义线性模型（GLM），用于对计数数据建模。它通过估计泊松分布的参数 λ 来工作，λ 直接与给定区间内事件发生的期望次数相关联。与线性回归相反，在泊松回归中，残差可能围绕均值 λ 呈不对称分布。因此，均值两侧（λ-x 和 λ+x）的结果并非等概率。

例如：

• 如果接到电话的期望数（均值）是 1……
• ……那么按照泊松回归，接到 3 通电话（1+2）是可能的，但接到 -1 通电话（1-2）是不可能的。
• 这是因为它的结果也是非负的。

回归拟合在数学上定义如下：

下面的可视化图很好地总结了这篇内容：

我们将在下一章继续这个讨论。